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小分母和QuasiperiodicSchrödinger操作员的大分子
Small denominators and large numerators of quasiperiodic Schrödinger operators
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论文摘要
我们启动了一种方法，以同时处理由准周期Schrödinger运算符引起的格林功能的分子和分母，特别是使我们能够研究几乎是Mathieu运营商的完全共振阶段。令$（h_ {λ，α，θ} u）= u（n+1）+u（n+1）+2λ\cos2π（θ+nα）u（n）u（n）$是$ \ ell^2上几乎是mathieu operator in $ \ ell^2（\ mathbb {Z}）$ 令$β（α）= \ limsup_ {k \ rightarrow \ infty} - \ frac {\ ln ||kα|| _ || _ {\ mathbb {r}/\ mathbb {z}}}}}}}}}}}}}}}} {| k |} {| k |}。 α\ mathbb {z}+\ \ \ m mathbb {z} $，$ h_ {λ，α，θ} $如果$ |λ|λ|> e^{2β（α）} $，则满足Anderson的本地化。 这证实了Avila和Jitomirskaya的猜想[十个马提尼问题。安。数学。 （2）170（2009），否。 1，303--342]以及一种猜想Jitomirskaya的特殊情况[几乎所有关于几乎Mathieu操作员的一切。 ii。 Xith国际数学物理大会（巴黎，1994年），373--382，Int。 Press，剑桥，马萨诸塞州，1995年]。
We initiate an approach to simultaneously treat numerators and denominators of Green's functions arising from quasi-periodic Schrödinger operators, which in particular allows us to study completely resonant phases of the almost Mathieu operator. Let $ (H_{λ,α,θ}u) (n)=u(n+1)+u(n-1)+ 2λ\cos2π(θ+nα)u(n)$ be the almost Mathieu operator on $\ell^2(\mathbb{Z})$, where $λ, α, θ\in \mathbb{R}$. Let $$ β(α)=\limsup_{k\rightarrow \infty}-\frac{\ln ||kα||_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}}{|k|}.$$ We prove that for any $θ$ with $2θ\in α\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$, $H_{λ,α,θ}$ satisfies Anderson localization if $|λ|>e^{2β(α)}$. This confirms a conjecture of Avila and Jitomirskaya [The Ten Martini Problem. Ann. of Math. (2) 170 (2009), no. 1, 303--342] and a particular case of a conjecture of Jitomirskaya [Almost everything about the almost Mathieu operator. II. XIth International Congress of Mathematical Physics (Paris, 1994), 373--382, Int. Press, Cambridge, MA, 1995].
