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一类准线性椭圆问题的多样性和分叉结果在梯度上具有二次生长
Multiplicity and Bifurcation Results for a Class of Quasilinear Elliptic Problems with Quadratic Growth on the Gradient
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论文摘要
我们研究了对以下类椭圆方程的解决方案的存在，不存在和多样性 \ begin {align*} \ tag {$p_λ$} - \ Mathrm {div}（a（x）du）=c_λ（x）u+（m（x）du，du）+h（x），\ qquad u \ in H_0^1（ω）\ cap l^\ infty（ω）， \ end {align*} 其中$ω\ subset \ mathbb {r}^n $，$ n \ geq 3 $，是一个有界限的域，具有低调边界 $ \partialΩ$。 对于某些$ p> n $的系数$ c，h \ in l^p（ω）$，带有$ c^\ pm \ geq 0 $和$c_λ（x）：=λc^+（x） - c^ - （x） - （x）$用于真实参数$λ$。矩阵$ a（x）$是均匀的确定且有界的，而$ m（x）$是正定的和有界的。 在合适的假设下，我们表征了$（p_λ）$的解决方案连续性，包括其分叉点。我们在强制案例（$λ\ leq 0 $）中建立了存在和独特性结果，并在非重新情况下证明了多重性结果（$λ> 0 $）。 \ bigskip \ textbf {关键字}：quasilinarear椭圆方程，渐变上的二次增长， 子和超级解决方案。
We investigate the existence, non-existence, and multiplicity of solutions to the following class of quasilinear elliptic equations \begin{align*}\tag{$P_λ$} -\mathrm{div}(A(x)Du)=c_λ(x)u+( M(x)Du,Du)+h(x),\qquad u\in H_0^1(Ω)\cap L^\infty(Ω), \end{align*} where $Ω\subset\mathbb{R}^n$, $n\geq 3$, is a bounded domain with a low-regularity boundary $\partialΩ$. The coefficients $c, h \in L^p(Ω)$ for some $p > n$, with $c^\pm \geq 0$ and $c_λ(x) := λc^+(x) - c^-(x)$ for a real parameter $λ$. The matrix $A(x)$ is uniformly positive definite and bounded, while $M(x)$ is positive definite and bounded. Under suitable assumptions, we characterize the solution continuum of $(P_λ)$, including its bifurcation points. We establish existence and uniqueness results in the coercive case ($λ\leq 0$) and prove multiplicity results in the non-coercive case ($λ> 0$). \bigskip \textbf{Keywords}: Quasilinear elliptic equations, quadratic growth on the gradient, sub and super solutions.
