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涉及三角功能的组合总和的身份
Identities for combinatorial sums involving trigonometric functions
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论文摘要
令$$ a_ {m，n}（a）= \ sum_ {j = 0}^m（-4）^j {m+j \ select 2J} \ sum_ {k = 0}^{n-1}^{n-1} \ sin（a+2kπ/n） b_ {m，n}（a）= \ sum_ {j = 0}^m（-4）^j {m+j+1 \选择2J+1} \ sum_ {k = 0}^{n-1} \ sin（a+2kπ/n） 1 $是整数，$ a $是一个真实数字。我们为以下结果提供了两个证据： （i）如果$ 2M+1 \ equiv 0 \，（\ mbox {mod} \，n）$，则$$ a_ a_ {m，n}（a）=（a）=（ - 1）^m n \ sin（（2m+1）a）。 $ 4（ii）如果$ 2M+1 \ not \ equiv 0 \，（\ mbox {mod} \，n）$，则$ a_ {m，n}（a）= 0 $。 （iii）如果$ 2（m+1）\ equiv 0 \，（\ mbox {mod} \，n）$，则$$ b_ {m，n}（a）=（a）=（ - 1）^m \ frac {n} {n} {2} {2} \ sin（2（m+1）a）。 $$（iv）如果$ 2（m+1）\ not \ equiv 0 \，（\ mbox {mod} \，n）$，则$ b_ {m，n}（a）= 0 $。
Let $$ A_{m,n}(a)=\sum_{j=0}^m (-4)^j {m+j\choose 2j}\sum_{k=0}^{n-1} \sin(a+2kπ/n) \cos^{2j}(a+2kπ/n) $$ and $$ B_{m,n}(a)=\sum_{j=0}^m (-4)^j {m+j+1\choose 2j+1}\sum_{k=0}^{n-1} \sin(a+2kπ/n) \cos^{2j+1}(a+2kπ/n), $$ where $m\geq 0$ and $n\geq 1$ are integers and $a$ is a real number. We present two proofs for the following results: (i) If $2m+1 \equiv 0 \, (\mbox{mod} \, n)$, then $$ A_{m,n}(a)=(-1)^m n \sin((2m+1)a). $$ (ii) If $2m+1 \not\equiv 0 \, (\mbox{mod} \, n)$, then $A_{m,n}(a)=0$. (iii) If $2(m+1) \equiv 0 \, (\mbox{mod} \, n)$, then $$ B_{m,n}(a)=(-1)^m \frac{n}{2} \sin(2(m+1)a). $$ (iv) If $2(m+1) \not\equiv 0 \, (\mbox{mod} \, n)$, then $B_{m,n}(a)=0$.
